白丁往來誌

[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

(編註: 放3個lessons, copy and paste only, 原則上唔quote reply. 其餘請追post!)

#1Edelschwarz

講起mathematical analysis,唔少讀數嘅學生都聞風喪膽,究竟佢有啲咩咁恐怖
咁呢個post我會講吓呢個範疇嘅基本概念(即係所有mathematical analysis course都會有嘅野),畀大家了解吓究竟呢班癡線佬做緊乜
同埋等中學雞唔好誤入岐途

雖然呢度係講中文,但係為咗方便大家google(同埋我自己打),啲數學名詞都係會用返英文(如果我知隻字中文係咩我會打一次出嚟 )。英文唔好唔緊要,反正數學入面啲字嘅定義同出面嘅世界唔同(唔通我個標題打「數學分析」你就會知我講乜咩

我估我大概會講吓下面呢啲比較有趣嘅問題:
點解1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + …會加到無限大,但
1+ 1/2² + 1/3² + 1/4² + …就唔會
(睇吓反應如何)可能會講吓微積分嘅概念呢啲

不過我地首先要打好基本功

不如就由real number(實數)開始講起啦咁

Real number 係咁嘅樣嘅

喺呢條線上面就有好多好多數字嘅(比無限仲要多,遲啲再講),有整數1, 2, 3, -123456789, …, 有分數 1/2, 2/3, …, (我地叫呢啲做有理數(rational number)), 仲有啲無得寫成兩個整數相除嘅無理數(irrational number),就好似π, e, log 2 等等。

咁我地發現實數係滿足一定條件嘅(無得證, 換言之呢啲條件係實數嘅定義):
1. 滿足我地平時加減乘除嘅規則(例如唔畀除零) – Field axiom
2. 兩個正數相加係正數, 兩個正數相乘係正數, 同埋(trichotomy law)求其畀兩個數a,b你, 咁下面三句說話一定有一句係啱:
a>b, a=b, a)
呢度夾埋就叫做 Order axiom
3. 喺一堆有上限嘅數(我地叫呢一堆數做一個數集(set),通常用S去代表)入面,存在最小上限(supremum) – Completeness Axiom

你可能會問,究竟最尾嗰條axiom係噏乜鳩
要好清楚咁講,就梗係要畀個定義嚟跟吓先啦
咁我地首先要定義咩為之上限:(upper bound)大過曬啲數咪係囉

如果一個數a係大過個set入面所有嘅數, 咁a就係一個upper bound

指正: #63口水浪花
只係睇左開頭
Upper bound係greater than or equal to
否則 sup{1,2,3} != 3

#66Edelschwarz

證明你有留心聽書
係我打錯

用鬼畫符就係咁寫嘅:

因為數學家(以及普遍嘅數學學生)係好懶嘅,佢地成日都會將啲字用符號代表
其實佢地想講嘅野係
“a is an upper bound of a set S if a>s (for all) s (in) S.”
我估咁樣會易明啲掛…?

我地定義完上限之後,就可以定義S嘅最小上限(叫做sup S)喇
其實個定義好on9, 就係:
1. a係S嘅一個上限
2. 如果b係S嘅另一個上限,咁b≥a
真係好廢

講咗咁多廢話,有冇啲例子睇吓呢?

sup{1,2,3}=3 (我諗呢個唔使解掛…)
{1,2,3,4,5,…} 冇supremum(因為佢冇上限)
複雜少少嘅有
sup{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…}=1
我地見到1係大過曬入面嘅數,所以1係一個upper bound
但係任何一個細過1嘅數x,我地都可以喺個set入面搵到個數係大過x (點解嘅?點解嘅?)
所以1真係最細嘅upper bound

講咗咁耐,究竟completeness axiom係有咩用嘅?

我地就諗吓下面呢個例子:

又係講解鬼畫符嘅時間
我地會用一個大括號去表示入面裝住嘅野係一個set,而入面嘅結構係咁嘅
{ 一堆候選物件(可以係數字,可以係其他野,甚至可以係另一個set) |需要滿足嘅條件}

而我地喺入面見到一個好粗嘅Q係代表住有理數集(set of rational numbers)(即係所有分數)
所以呢行鬼畫符要講嘅野係:
“S is a set of rational numbers x satisfying x²<2”

就我地喺中學學過嘅野,我地知道

呢個就係completeness axiom存在嘅意義,因為喺有理數入面,我地唔會搵到一個最小上限,而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

講咗咁耐定義,到底有咩用啫
我地下次就會講吓數列(sequences)

一個數列,其實就係一堆排好隊嘅數(要注意嘅係條隊要無限長)
例如有好出名嘅Fibonacci sequence:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

可以係無限個零:
0, 0, 0, 0, 0, 0, …
甚至做健身操會嗌嘅數字:
1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, …

我地下次就會睇吓呢啲數列嘅特性,今次打住咁多先

*** *** *** ***
next lesson!
*** *** *** ***

又到咗學寫鬼畫符嘅時間

下面呢個就係一條數列(sequence)嘅定義

我地首先要揀一個集 S,通常係一堆數字,所以我地叫佢做數列
如果咁唔好彩 S唔係裝住一堆數,中文好似係叫序列而唔係數列
因為我地呢度係講實數,做實事,我地只會討論當S係實數集R嘅情況

我地仲見到一個好大隻嘅N,佢喺呢度係代表正整數(or 自然數)嘅集 (set of natural numbers)
各處鄉村各處例,有啲地方中意由0開始,不過我地會由1開始

 為咗唔好煩,我喺度介紹曬一門五傑喇

N係自然數 1, 2, 3, …
Z係整數(即係有正有負有零)
Q係有理數(上次提過,係兩整數相除所得到嘅分數,例如 -1/2, 113/355 之類)
R係實數(即係我地上次見到嘅數綫)
C係複數(可以有i嘅出現)

N for natural, Z for Zahl (德文出沒注意), Q for quotient, R for real, C for complex

於是我地嘅數列就係一個函數(function)
function個意思我諗大家都見過
就係你畀一舊野佢,佢會嘔返一舊野出嚟

咁上面幅圖個意思就係
我地喺N入面揀一樣野(即係一個正整數), 咁佢就會嘔返一樣喺S入面嘅野

咁我地由1開始逐個逐個正整數塞入去個function到,我地就會有一條好整齊嘅數列:
f(1), f(2), f(3), f(4), …

例如當 f(n) = n² 時,我地嘅數列會係咁嘅樣:
1, 4, 9, 16, 25, …

而{an}就係我地用嚟代表數列嘅寫法,同一條sequence我地通常係寫 {an} = n²

#25Edelschwarz

希望上面嘅定義唔會悶親大家
我都覺得好長氣講到數列,數學家最關心嘅野係佢會唔會趨向一個數
聽落好似好奇怪,我地點解要關心呢樣野嘅
咁係因為呢個特質對解決好多數學問題都好有用
例如我地想知點解
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
永遠都唔會變無限大
我地就可以寫一個數列(將頭n個數加埋)
1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, …
如果呢個數列係趨向一個數
咁佢咪唔會加到無限大囉係咪好醒先不過,有個好重要嘅問題
就係一條數列點先算趨向一個數?
其實我地可以試吓由常理出發,考吓自己嘅直覺係點判斷
大家可以諗吓下面嘅數列係咪趨向一個數,如果係,咁佢係趨向邊個數?1, 2, 3, 4, 5, 6, …

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …

1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, 0, 1/5, …

1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … (第n個1之後有n個0)

如無意外,大家嘅答案應該會係
No
Yes, 0
No
Yes, 0
No
如果你嘅答案同我唔同,即係你諗野嘅方法同常人有啲分別
有冇諗過做哲學家?

於是我地可以歸納到個條件就係
1. 只要我地不斷數落去,我地想幾近個數都得
2. 唔畀彈出又彈入 (最尾嗰題就fail咗呢樣)

於是我地可以將呢兩個條件寫成鬼畫符:

翻譯蒟蒻:
A sequence {an} converges to L if (for all) ϵ>0, (there exists) a natural number N such that |an – L|<ϵ (for all) n≥N.

係咪開始有啲難度

呢句入面嘅ϵ就係我地’想幾近就幾近’嘅概念
我地求其畀一個距離ϵ(0.0000001又得,再細啲亦得)
咁呢個數列第N個term打後嘅數同L嘅距離都係細過ϵ
呢個條件同時禁止咗彈出又彈入,因為第N個term打後嘅數都走唔出L-ϵ同L+ϵ嘅五指山
於是我地成功封印咗孫悟空喇

如果一條數列滿足上面嘅條件,我地就叫佢收斂(convergent), 如果唔係,我地就叫佢發散(divergent)
咁喺定義入面呢個L都係好重要嘅,所以我地都要畀個名佢,叫做{an}嘅極限(limit)通常我地會咁寫:

喺divergent嘅數列之中,有一種比較特別嘅數列,啲數字會逐漸變得越嚟越大,例子有:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 4, 2, 8, 4, 16, 8, 32, 16, 64, … (乘4, 除2, 無限loop)

我地就叫呢種數列diverges to positive infinity,用鬼畫符寫就係:

呢個就當係翻譯練習啦

同樣,我地可以定義咩為之 diverges to negative infinity
鬼畫符寫作練習

講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

#72會考都無C

呢個就係completeness axiom存在嘅意義,因為喺有理數入面,我地唔會搵到一個最小上限,而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限,即有兩種可能性:
– a < sqrt(2) – a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
– 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數,設為x
– then a+x < sqrt(2) – 因a+x係有理數,違反a為上限的假設 若a > sqrt (2)
– 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數,設為y
– then a-y > sqrt(2)
– 因a-y係有理數而且係S的上限,違反a為最小上限的假設

 

*** *** *** ***
next lesson!
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#88Edelschwarz
今次開波之前,講埋boundedness先
一條sequence入面嘅數係有上限,我地就叫佢bounded above
如果sequence入面嘅數係有下限,我地就叫佢bounded below
如果佢同時有上限同下限,我地就叫佢bounded
數學其實都真係幾多廢話
不過都係要寫出嚟,等大家有法可依,唔使口同鼻拗

之後我地就可以講第一條定理喇

Theorem: 一條convergent sequence係bounded

點解?

我地首先搵條convergent sequence出嚟,姑且叫佢做{an}
咁因為佢係convergent,所以我地可以求其揀個ϵ,咁convergent嘅定義就話畀我地知第N個打後嘅term都喺L-ϵ同L+ϵ之間

然後我地就要照顧吓頭個N-1個term
咁我地發現
M = max{ a1, a2, … , an-1, L+ϵ}
呢個數係大過曬(≥, 用不少於好似好怪) 條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded above
同樣,
m = min{ a1, a2, … , an-1, L-ϵ}
係細過曬(≤)條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded below

於是條sequence就係bounded喇  

但係要記住掉轉行係唔work嘅
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
就係一個bounded但係唔converge嘅sequence

講完第一個proof,同場加映有convergent sequence嘅性質:

基本上條sequence嘅limit就同普通數字一樣,可以加減乘除(只要唔好除零就得)

如果你係認真諗住要讀analysis而唔係睇過就算嘅話,你可以試吓prove
加減係比較易,乘除就要多少少技巧

依家我就講吓一啲搵limit嘅工具

我地有偉大嘅三文治定理(Sandwich Theorem):
假設我地有三條sequence {an}, {bn}, {cn},
而且an≤bn≤cn永遠都啱
如果{an}同{cn}都converge去L嘅話,咁{bn}都會converge去L

同鬼畫符寫出嚟就係咁

係咪易睇好多呢
你終於明點解我地咁中意寫鬼畫符喇

咁講得係定理,就梗係要證明啦
咁要證明一條sequence係convergent,我地就要證明對於求其一個ϵ,我地都可以搵到相應嘅N,令到N打後嘅term都係喺L-ϵ同L+ϵ之間

所以我地依家要做嘅就係求其搵一個ϵ,

因為我地知道{an}同{cn}都converge去L,咁我地就可以搵到Na同Nc,令到
{an}第Na個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間,
同埋{cn}第Nc個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
依家我地就考慮N = max{Na,Nc}
咁{an}同{cn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
所以{bn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間,因為bn畀an同cn夾住咗sandwich motherfucker
所以呢個N就係我地想搵嘅N喇

收尾整個例子嚟睇吓先:

其實使唔使我翻譯  

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