[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

[腦力大挑戰] Mathematical analysis BB班

(編註: 放3個lessons, copy and paste only, 原則上唔quote reply. 其餘請追post!)

#1Edelschwarz

講起mathematical analysis，唔少讀數嘅學生都聞風喪膽，究竟佢有啲咩咁恐怖
咁呢個post我會講吓呢個範疇嘅基本概念(即係所有mathematical analysis course都會有嘅野)，畀大家了解吓究竟呢班癡線佬做緊乜
同埋等中學雞唔好誤入岐途

雖然呢度係講中文，但係為咗方便大家google(同埋我自己打)，啲數學名詞都係會用返英文(如果我知隻字中文係咩我會打一次出嚟 )。英文唔好唔緊要，反正數學入面啲字嘅定義同出面嘅世界唔同(唔通我個標題打「數學分析」你就會知我講乜咩

我估我大概會講吓下面呢啲比較有趣嘅問題:
點解1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + …會加到無限大，但
1+ 1/2² + 1/3² + 1/4² + …就唔會
(睇吓反應如何)可能會講吓微積分嘅概念呢啲

不過我地首先要打好基本功

不如就由real number(實數)開始講起啦咁

Real number 係咁嘅樣嘅

喺呢條線上面就有好多好多數字嘅(比無限仲要多，遲啲再講)，有整數1, 2, 3, -123456789, …, 有分數 1/2, 2/3, …, (我地叫呢啲做有理數(rational number)), 仲有啲無得寫成兩個整數相除嘅無理數(irrational number)，就好似π, e, log 2 等等。

咁我地發現實數係滿足一定條件嘅(無得證, 換言之呢啲條件係實數嘅定義):
1. 滿足我地平時加減乘除嘅規則(例如唔畀除零) – Field axiom
2. 兩個正數相加係正數, 兩個正數相乘係正數, 同埋(trichotomy law)求其畀兩個數a,b你, 咁下面三句說話一定有一句係啱:
a>b, a=b, a)
呢度夾埋就叫做 Order axiom
3. 喺一堆有上限嘅數(我地叫呢一堆數做一個數集(set)，通常用S去代表)入面，存在最小上限(supremum) – Completeness Axiom

你可能會問，究竟最尾嗰條axiom係噏乜鳩
要好清楚咁講，就梗係要畀個定義嚟跟吓先啦
咁我地首先要定義咩為之上限:(upper bound)大過曬啲數咪係囉

如果一個數a係大過個set入面所有嘅數, 咁a就係一個upper bound

指正: #63口水浪花
只係睇左開頭
Upper bound係greater than or equal to
否則 sup{1,2,3} != 3

#66Edelschwarz

證明你有留心聽書
係我打錯

用鬼畫符就係咁寫嘅:

因為數學家(以及普遍嘅數學學生)係好懶嘅，佢地成日都會將啲字用符號代表
其實佢地想講嘅野係
“a is an upper bound of a set S if a>s (for all) s (in) S.”
我估咁樣會易明啲掛…?

我地定義完上限之後，就可以定義S嘅最小上限(叫做sup S)喇
其實個定義好on9, 就係:
1. a係S嘅一個上限
2. 如果b係S嘅另一個上限，咁b≥a
真係好廢

講咗咁多廢話，有冇啲例子睇吓呢?

sup{1,2,3}=3 （我諗呢個唔使解掛…)
{1,2,3,4,5,…} 冇supremum（因為佢冇上限）
複雜少少嘅有
sup{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…}=1
我地見到1係大過曬入面嘅數，所以1係一個upper bound
但係任何一個細過1嘅數x，我地都可以喺個set入面搵到個數係大過x (點解嘅?點解嘅?)
所以1真係最細嘅upper bound

講咗咁耐，究竟completeness axiom係有咩用嘅?

我地就諗吓下面呢個例子:

又係講解鬼畫符嘅時間
我地會用一個大括號去表示入面裝住嘅野係一個set，而入面嘅結構係咁嘅
{ 一堆候選物件(可以係數字，可以係其他野，甚至可以係另一個set) ｜需要滿足嘅條件}

而我地喺入面見到一個好粗嘅Q係代表住有理數集(set of rational numbers)(即係所有分數)
所以呢行鬼畫符要講嘅野係:
“S is a set of rational numbers x satisfying x²<2”

就我地喺中學學過嘅野，我地知道

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

講咗咁耐定義，到底有咩用啫
我地下次就會講吓數列(sequences)

一個數列，其實就係一堆排好隊嘅數(要注意嘅係條隊要無限長)
例如有好出名嘅Fibonacci sequence:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

可以係無限個零:
0, 0, 0, 0, 0, 0, …
甚至做健身操會嗌嘅數字:
1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, …

我地下次就會睇吓呢啲數列嘅特性，今次打住咁多先

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next lesson!
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#25Edelschwarz

希望上面嘅定義唔會悶親大家
我都覺得好長氣講到數列，數學家最關心嘅野係佢會唔會趨向一個數
聽落好似好奇怪，我地點解要關心呢樣野嘅
咁係因為呢個特質對解決好多數學問題都好有用
例如我地想知點解
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
永遠都唔會變無限大
我地就可以寫一個數列(將頭n個數加埋)
1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, …
如果呢個數列係趨向一個數
咁佢咪唔會加到無限大囉係咪好醒先不過，有個好重要嘅問題
就係一條數列點先算趨向一個數?
其實我地可以試吓由常理出發，考吓自己嘅直覺係點判斷
大家可以諗吓下面嘅數列係咪趨向一個數，如果係，咁佢係趨向邊個數?1, 2, 3, 4, 5, 6, …

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …

1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …

1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, 1/4, 0, 1/5, …

1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … (第n個1之後有n個0)

如無意外，大家嘅答案應該會係
No
Yes, 0
No
Yes, 0
No
如果你嘅答案同我唔同，即係你諗野嘅方法同常人有啲分別
有冇諗過做哲學家?

於是我地可以歸納到個條件就係
1. 只要我地不斷數落去，我地想幾近個數都得
2. 唔畀彈出又彈入 (最尾嗰題就fail咗呢樣)

於是我地可以將呢兩個條件寫成鬼畫符:

翻譯蒟蒻:
A sequence {an} converges to L if (for all) ϵ>0, (there exists) a natural number N such that |an – L|<ϵ (for all) n≥N.

係咪開始有啲難度

呢句入面嘅ϵ就係我地’想幾近就幾近’嘅概念
我地求其畀一個距離ϵ(0.0000001又得，再細啲亦得)
咁呢個數列第N個term打後嘅數同L嘅距離都係細過ϵ
呢個條件同時禁止咗彈出又彈入，因為第N個term打後嘅數都走唔出L-ϵ同L+ϵ嘅五指山
於是我地成功封印咗孫悟空喇

如果一條數列滿足上面嘅條件，我地就叫佢收斂(convergent), 如果唔係，我地就叫佢發散(divergent)
咁喺定義入面呢個L都係好重要嘅，所以我地都要畀個名佢，叫做{an}嘅極限(limit)通常我地會咁寫:

喺divergent嘅數列之中，有一種比較特別嘅數列，啲數字會逐漸變得越嚟越大，例子有:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 4, 2, 8, 4, 16, 8, 32, 16, 64, … (乘4, 除2, 無限loop)

我地就叫呢種數列diverges to positive infinity，用鬼畫符寫就係:

呢個就當係翻譯練習啦

同樣，我地可以定義咩為之 diverges to negative infinity
鬼畫符寫作練習

講住咁多先
下集我地終於開始見到有定義同翻譯蒟蒻以外嘅野

#72會考都無C

呢個就係completeness axiom存在嘅意義，因為喺有理數入面，我地唔會搵到一個最小上限，而呢個axiom就指出我地係實數入面一定搵得到
所以呢個係實數與生俱來嘅特性

呢段睇唔明

喺S = {細過(開方2)嘅有理數}入面唔會搵到最小上限:
設a為S的上限，即有兩種可能性：
– a < sqrt(2) – a > sqrt(2)

若a < sqrt(2)
– 搵一個大過0同時細過 sqrt(2)-a 嘅有理數，設為x
– then a+x < sqrt(2) – 因a+x係有理數，違反a為上限的假設 若a > sqrt (2)
– 搵一個大過0同時細過 a-sqrt(2)嘅有理數，設為y
– then a-y > sqrt(2)
– 因a-y係有理數而且係S的上限，違反a為最小上限的假設

 

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next lesson!
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#88Edelschwarz

今次開波之前，講埋boundedness先
一條sequence入面嘅數係有上限，我地就叫佢bounded above
如果sequence入面嘅數係有下限，我地就叫佢bounded below
如果佢同時有上限同下限，我地就叫佢bounded
數學其實都真係幾多廢話
不過都係要寫出嚟，等大家有法可依，唔使口同鼻拗

之後我地就可以講第一條定理喇

Theorem: 一條convergent sequence係bounded

點解?

我地首先搵條convergent sequence出嚟，姑且叫佢做{an}
咁因為佢係convergent，所以我地可以求其揀個ϵ，咁convergent嘅定義就話畀我地知第N個打後嘅term都喺L-ϵ同L+ϵ之間

然後我地就要照顧吓頭個N-1個term
咁我地發現
M = max{ a1, a2, … , an-1, L+ϵ}
呢個數係大過曬(≥, 用不少於好似好怪) 條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded above
同樣，
m = min{ a1, a2, … , an-1, L-ϵ}
係細過曬(≤)條sequence入面所有嘅數
所以呢條sequence係bounded below

於是條sequence就係bounded喇  

但係要記住掉轉行係唔work嘅
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …
就係一個bounded但係唔converge嘅sequence

講完第一個proof，同場加映有convergent sequence嘅性質:

基本上條sequence嘅limit就同普通數字一樣，可以加減乘除（只要唔好除零就得）

如果你係認真諗住要讀analysis而唔係睇過就算嘅話，你可以試吓prove
加減係比較易，乘除就要多少少技巧

依家我就講吓一啲搵limit嘅工具

我地有偉大嘅三文治定理(Sandwich Theorem):
假設我地有三條sequence {an}, {bn}, {cn}，
而且an≤bn≤cn永遠都啱
如果{an}同{cn}都converge去L嘅話，咁{bn}都會converge去L

同鬼畫符寫出嚟就係咁

係咪易睇好多呢
你終於明點解我地咁中意寫鬼畫符喇

咁講得係定理，就梗係要證明啦
咁要證明一條sequence係convergent，我地就要證明對於求其一個ϵ，我地都可以搵到相應嘅N，令到N打後嘅term都係喺L-ϵ同L+ϵ之間

所以我地依家要做嘅就係求其搵一個ϵ,

因為我地知道{an}同{cn}都converge去L，咁我地就可以搵到Na同Nc，令到
{an}第Na個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間,
同埋{cn}第Nc個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
依家我地就考慮N = max{Na,Nc}
咁{an}同{cn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間
所以{bn}第N個term打後都係喺L-ϵ同L+ϵ之間，因為bn畀an同cn夾住咗sandwich motherfucker
所以呢個N就係我地想搵嘅N喇

收尾整個例子嚟睇吓先:

其實使唔使我翻譯